By Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner

Wie ist ein Ring definiert, wann kann guy Grenzprozesse vertauschen, used to be sind lineare Ordnungen und wozu benötigt guy das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra?

Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der Fülle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu können. Es behandelt hierzu je zwölf Schlüsselkonzepte der folgenden zwölf Themengebiete der Mathematik:

  • Grundlagen
  • Zahlen
  • Zahlentheorie
  • Diskrete Mathematik
  • Lineare Algebra
  • Algebra
  • Elementare Analysis
  • Höhere research
  • Topologie und Geometrie
  • Numerik
  • Stochastik
  • Mengenlehre und Logik
  • Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer knappen und präzisen, dabei aber nicht zu formalen Darstellung. Dadurch erlauben die einzelnen Beiträge ein fokussiertes Nachlesen ebenso wie ein neugieriges Kennenlernen.

    Das Buch ist geschrieben für Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester und möchte ein treuer Begleiter und eine zuverlässige Orientierungshilfe für das gesamte Studium sein.

    Die 2. Auflage ist vollständig durchgesehen und um Literaturangaben ergänzt.

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    9 Äquivalenzrelationen Im Deutschen gibt es den feinsinnigen Unterschied zwischen „dasselbe“ und „das Gleiche“. Während es „dasselbe“ immer nur genau einmal gibt, nennen wir oft zwei verschiedene Dinge „gleich“, wenn ihre Unterschiede unmerklich oder kontextabhängig uninteressant sind. Das „gleiche Buch“ gibt es in der Tat sehr oft, je nach Auflage des Werkes, dasselbe Buch nur einmal. Den „gleichen Löffel“ benutzen in der Regel alle bei Tisch, denselben zumeist nur einer. „Mein Nachbar fährt das gleiche Auto wie ich“ bedeutet, dass Hersteller, Typ und wahrscheinlich auch noch die Farbe übereinstimmen, während die Kennzeichen sicher verschieden sind.

    Yn /n2N = , falls gilt: 9k 1 9n0 8n n0 yn xn > 1=k. Bei der Konstruktion von Dedekind steht die Ordnung der rationalen Zahlen im Vordergrund und sie strebt ohne Umschweife die lineare Vollständigkeit an. L/ 2 L. L/ nicht existiert. Die Idee ist nun, die Schnitte (und damit insbesondere die Lücken von Q) als Punkte und dann weiter als Zahlen aufzufassen. Lq ; Rq / mit Lq D fr 2 Q j r Ä qg identifizieren. L2 ; R2 /, falls L1 Â L2 “ erhalten wir eine vollständige lineare Ordnung auf R. Mit etwas Mühe lässt sich auch wieder die Arithmetik von Q nach R fortsetzen.

    Man zeigt leicht, dass Ám eine Äquivalenzrelation auf Z ist. Gilt a Ám b, so heißen a und b auch äquivalent modulo m. m/. Eine Äquivalenzrelation begleitet eine Reihe von Konstruktionen und Sprechweisen. Sei also eine Äquivalenzrelation auf A. Für jedes a 2 A heißt a= D fb 2 A j a bg Œgelesen: a modulo  20 1 die zu a gehörige Äquivalenzklasse bezüglich sentant der Klasse. Weiter setzen wir A= D fa= j a 2 Ag . Jedes b 2 a= Œgelesen: A modulo Grundlagen heißt ein Reprä: Das Mengensystem A= heißt auch die Faktorisierung von A bezüglich .

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